[2015년 운정고]

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[2학년 1학기 중간 확률과 통계]

부모를 포함하여 여섯 명의 가족이 모두 원탁에 둘러앉을 때, 부모가 이웃하거나 마주보는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3.6점]

②

① [eqn: 70]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 74]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 78]

서로 다른 [eqn: 5]권의 책을 [eqn: 3]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 방법의 수는? (단, [eqn: 3]명 모두  적어도 한 권 이상의 책을 받아야 한다.) [3.6점]

⑤

① [eqn: 110]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 150]

같은 종류의 공 [eqn: 17]개를 같은 종류의 상자 [eqn: 4]개에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 [eqn: 3]개 이상의 공이 들어가도록 넣는 경우의 수는? [3.6점]

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]지점에 도착한 후 다시 [eqn: rmC]지점에서 [eqn: rmA]지점까지 최단거리로 돌아오는 방법의 수는? (단, [eqn: rmB]지점은 한 번만 지나야 한다.) [3.6점]

②

① [eqn: 4080]	② [eqn: 4240]	③ [eqn: 4400]

④ [eqn: 4560]	⑤ [eqn: 4720]

빨간 공과 노란 공을 합하여 모두 [eqn: 15]개의 공이 들어 있는 주머니에서 [eqn: 2]개의 공을 임의로 동시에 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 시행을 반복하였더니 [eqn: 35]번에 [eqn: 18]번 꼴로 서로 다른 색의 [eqn: 2]개의 공이 나왔다. 이 때, 주머니 속에 있는 빨간 공과 노란 공의 개수의 차는? [3.7점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

한 개의 주사위를 던져서 [eqn: 24]의 약수의 눈이 나오면 동전을 [eqn: 3]번 던지고, [eqn: 24]의 약수가 아닌 눈이 나오면 동전을 [eqn: 2]번 던진다고 한다. 주사위를 한 번 던졌을 때, 동전의 앞면이 [eqn: 2]번 이상 나올 확률은? [4.2점]

③

① [eqn: {7} over {24}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {11} over {24}]

④ [eqn: {13} over {24}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

상자 [eqn: rmA]에는 흰 공이 [eqn: 4]개, 검은 공이 [eqn: 3]개 들어 있고, 상자 [eqn: rmB]에는 흰 공이 [eqn: 2]개, 검은 공이 [eqn: 3]개 들어 있다. 두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중에서 한 상자를 임의로 택하여 [eqn: 3]개의 공을 꺼냈더니 흰 공이 [eqn: 1]개, 검은 공이 [eqn: 2]개 나왔을 때, 그 공이 상자 [eqn: rmB]에서 나왔을 확률은? (단, 각 상자를 선택할 확률은 같다.) [4.0점]

②

① [eqn: {6} over {11}]	② [eqn: {7} over {11}]	③ [eqn: {8} over {11}]

④ [eqn: {9} over {11}]	⑤ [eqn: {10} over {11}]

한나와 진욱이가 계단 오르기 게임을 한다. 가위바위보를 하여 이긴 사람은 [eqn: 3]계단 오르고 진 사람은 제자리에 있는다. 만약 비기면 두 사람 모두 [eqn: 2]계단씩 오르기로 할 때, 가위바위보를 [eqn: 5]번 한 후 한나의 위치가 처음위치에서 [eqn: 8]계단 오르게 될 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.0점]

⑤

① [eqn: 278]	② [eqn: 283]	③ [eqn: 288]

④ [eqn: 293]	⑤ [eqn: 298]

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 6]명이 한 줄로 설 때, [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중 [eqn: 2]명만 이웃하는 경우의 수는? [4.0점]

④

① [eqn: 420]	② [eqn: 424]	③ [eqn: 428]

④ [eqn: 432]	⑤ [eqn: 436]

[eqn: LEFT ( x+ {2} over {x} RIGHT ) ^{11}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2k-1} (k=1,```2,```3,```4,```5)]의 계수를 [eqn: f(k)], [eqn: x ^{1-2k} (k=1,```2,```3,```4,``5)]의 계수를 [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} {g(k)} over {f(k)}]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 678]	② [eqn: 680]	③ [eqn: 682]

④ [eqn: 684]	⑤ [eqn: 686]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]가 있다. 정육각형 위의 한 점 [eqn: rmP]는 서로 다른 두 개의 주사위를 한 번 던져 나온 수의 합만큼 정육각형의 변을 따라 시계 방향으로 움직인다. 서로 다른 두 개의 주사위를 한 번 던졌을 때, 점 [eqn: rmA]를 출발한 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmD]에 도착할 확률은? [4.0점]

①

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {5} over {18}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {18}]

서로 다른 [eqn: n]개에서 중복을 허락하여 [eqn: r]개를 택하는 방법의 수를 [eqn: f(n,```r)]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.3점]

③

ㄱ. [eqn: f(2,```3)=4]

ㄴ. [eqn: f(n,```2)=8]을 만족하는 자연수 [eqn: n]이 존재한다.

ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} f(n,```k)= {1} over {(n-1)!} sum _{k=0} ^{n-1} ` _{n+k} {rmP} _{n-1}]

(단, [eqn: `_n {rmP} _{ r}]는 서로 다른 [eqn: n]개 중에서 [eqn: r]개를 뽑아

일렬로 나열하는 방법의 수이다.)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 고등학교 사진반 학생들이 버스를 타고 사진 촬영을 하러 가기로 하였다. 사진반에는 [eqn: 1]반, [eqn: 2]반, [eqn: 3]반, [eqn: 4]반 학생들이 각각 [eqn: 2]명씩 모두 [eqn: 8]명이 앉아 있다. 이 [eqn: 8]명이 그림과 같은 [eqn: 8]개의 좌석에 임의로 앉을 때, 같은 반 학생끼리는 옆자리에 앉지 않을 확률을 [eqn: { q} over {p }]라 하자. 이 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.4점]

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택하여 일렬로 배열할 때, 조건을 만족시키는 경우의 수는? [4.4점]

①

(가) 문자 [eqn: b]는 적어도 하나 이상 포함된다.

(나) 문자 [eqn: e]가 [eqn: 2]개 이상 포함된 경우는

모두 이웃하도록 배열한다.

① [eqn: 340]	② [eqn: 342]	③ [eqn: 344]

④ [eqn: 346]	⑤ [eqn: 348]

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: T_{ k}= LEFT { 1,```2,```3,```···,```k RIGHT }]일 때, 집합 [eqn: T_{ k}]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]가 조건을 모두 만족시킨다.

순서쌍 [eqn: LEFT ( A,```B,```C RIGHT )]의 개수에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: S(X)]는 집합 [eqn: X]의 모든 원소의 합이고, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.) [4.4점]

(가) [eqn: T_{ k}=A SMALLUNIONB SMALLUNIONC]

(나) [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET], [eqn: B SMALLINTER C= EMPTYSET], [eqn: C SMALLINTER A= EMPTYSET]

②

ㄱ. [eqn: k=4]일 때 순서쌍의 개수는 [eqn: 36]이다.

ㄴ. [eqn: k=5], [eqn: S(A)<S(B)<S(C)]일 때

순서쌍의 개수는 [eqn: 20]이다.

ㄷ. [eqn: k=6], [eqn: n(A) LEQ n(B) LEQ n(C)]일 때

순서쌍의 개수는 [eqn: 180]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

[eqn: A]를 포함한 [eqn: 7]명의 학생이 아래 그림과 같은 토너먼트 방식으로 경기를 할 때, 다음 물음에 답하시오. [10.0점, 각 5.0점]

(1) [eqn: 315]

(2) [eqn: 45]

(1) 대진표를 작성하는 방법의 수를 구하고

그 과정을 서술하시오.

(2) [eqn: A]가 부전승으로 올라가도록 대진표를 작성하는

방법의 수를 구하고 그 과정을 서술하시오.

주머니에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]의 숫자가 하나씩 적혀 있고 모양과 크기가 모두 같은 [eqn: 7]개의 공이 있다. 이 주머니에서 동시에 [eqn: 3]개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 수를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c(a<b<c)]라 하자. [eqn: LEFT | a-b RIGHT | + LEFT | b-c RIGHT | + LEFT | c-a RIGHT |]가 [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: A]라 하고 [eqn: 6]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [10.0점]

(1) [eqn: {rmP}(A)= 19 over 35], [eqn: {rmP}(B)= 18 over 35]

(2) [eqn: 6 over7]

(1) [eqn: {rmP}(A)], [eqn: {rmP}(B)]를 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

(2) [eqn: {rmP} LEFT ( LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{c} RIGHT )]를 구하고 그 과정을 서술하시오. [4.0점]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:X -> X] 중에서 조건을 모두 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 43]가지

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) f LEFT ( 2 RIGHT ) f LEFT ( 6 RIGHT ) =12]

(나) [eqn: x _{1} IN X], [eqn: x _{2} IN X]이고 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) LEQ f LEFT ( x _{2} RIGHT )]

[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 양의 홀수일 때, 방정식 [eqn: x+y+z=n]을 만족시키는 해의 개수를 [eqn: A _{n}]이라 하자. [eqn: A _{n} GEQ 50]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 21]

[2015년 운정고]

[2학년 1학기 중간 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com